Rosenbaum 为匹配观察性实验引入了一套敏感性分析方法. 它对于一对一匹配最为优雅, 不过对一般的匹配都适用. 它最好是用来检验"没有实验效应"的尖锐的零假设.

1 为匹配数据设计的敏感性分析模型

考虑一个 匹配观察性实验. 记 ${\displaystyle (i,j)}$ 为配对 ${\displaystyle i}$ 里的单元 ${\displaystyle j}$, ${\displaystyle i=1,\cdots ,n,j=1,2}$. 如果是精准匹配, ${\displaystyle (i,1)}$, ${\displaystyle (i,2)}$ 有相同的协变量 ${\displaystyle X_i}$. 假设 IID 采样, 我们拓展 倾向得分 为 $$e_{ij}=\mathbb{P}(Z_{ij}=1|X_i,Y_{ij}(1),Y_{ij}(0)).$$ 记 ${\displaystyle {\mathbb{S}}_i=\{Y_{i1}(1),Y_{i1}(0),Y_{i2}(1),Y_{i2}(0)\}}$ 为配对 ${\displaystyle i}$ 的所有潜在结果. 在 ${\displaystyle Z_{i1}+Z_{i2}=1}$ 的条件下, 我们有 $$\begin{array}{rl}{\pi }_{i1}& =\mathbb{P}(Z_{i1}=1|X_i,{\mathbb{S}}_i,Z_{i1}+Z_{i2}=1)\\ & =\frac{\mathbb{P}(Z_{i1}=1,Z_{i2}=0|X_i,{\mathbb{S}}_i)}{\mathbb{P}(Z_{i1}+Z_{i2}=1|X_i,{\mathbb{S}}_i)}\\ & =\frac{\mathbb{P}(Z_{i1}=1,Z_{i2}=0|X_i,{\mathbb{S}}_i)}{\mathbb{P}(Z_{i1}=1,Z_{i2}=0|X_i,{\mathbb{S}}_i)+\mathbb{P}(Z_{i1}=0,Z_{i2}=1|X_i,{\mathbb{S}}_i)}\\ & =\frac{e_{i1}(1-e_{i2})}{e_{i1}(1-e_{i2})+(1-e_{i1})e_{i2}}.\end{array}$$ 定义 ${\displaystyle o_{ij}=\frac{e_{ij}}{1-e_{ij}}}$ 为 ${\displaystyle (i,j)}$ 的实验处理的 几率, 则 $${\pi }_{i1}=\frac{o_{i1}}{o_{i1}+o_{i2}}.$$ 在可忽略性下, ${\displaystyle e_{ij}}$ 只是 ${\displaystyle X_i}$ 的函数, 所以 ${\displaystyle e_{i1}=e_{i2}}$, ${\displaystyle {\pi }_{i1}=\frac{1}{2}}$. 所以这个在协变量和潜在结果条件下的分配机制, 和一个相等对照/实验概率的 MPE 等价.
一般来说, ${\displaystyle e_{ij}}$ 还是未观测潜在结果的函数, 它在 ${\displaystyle (0,1)}$ 之间. Rosenbaum 的模型为 ${\displaystyle \frac{o_{i1}}{o_{i2}}}$ 添加了界.

这样, 我们就有一个有偏的 MPE, 在不同的配对上实验/对照概率会变化. 当 ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }=1}$, 我们有 ${\displaystyle {\pi }_{i1}=\frac{1}{2}}$, 因此是标准 MPE. 所以 ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }>1}$ 衡量了因为我们忽略的变量而导致离标准 MPE 有多远.

2 Rosenbaum 敏感性分析模型下的最差 p 值

考虑零假设 $$H_{0\mathrm{F}}:Y_{ij}(1)=Y_{ij}(0),i=1,\cdots ,n,j=1,2,$$ 基于配对内的差别 ${\displaystyle {\hat{\tau }}_i=(2Z_{i1}-1)(Y_{i1}-Y_{i2})}$. 在 ${\displaystyle H_{0\mathrm{F}}}$ 下, ${\displaystyle |{\hat{\tau }}_i|}$ 固定, 但是 ${\displaystyle S_i=\mathbf{1}\{{\hat{\tau }}_i>0\}}$ 是随机的, 如果 ${\displaystyle {\hat{\tau }}_i\ne 0}$. 考虑下面的检验统计量类 $$T=\sum _{i=1}^n{S}_i{q}_i,$$ 这里 ${\displaystyle q_i\ge 0}$ 是 ${\displaystyle (|{\hat{\tau }}_1|,\cdots ,|\hat{\tau }{|}_n)}$ 的函数. 特殊的例子包括符号统计量, t 配对统计量, Wilcoxon符号秩统计量 $$T=\sum _{i=1}^n{S}_i,T=\sum _{i=1}^n{S}_i|{\hat{\tau }}_i|,T=\sum _{i=1}^n{S}_i{R}_i,$$ 这里 ${\displaystyle (R_1,\cdots ,R_n)}$ 是 ${\displaystyle (|{\hat{\tau }}_1|,\cdots ,|{\hat{\tau }}_n|)}$ 的秩.
在 Rosenbaum的假设模型 下, 零假设下 ${\displaystyle T}$ 的分布是什么? 这可能非常复杂. 幸运的是, 我们不需要知道 ${\displaystyle T}$ 的精确分布, 只需要知道最差情况下的 p 值。最差情况下 $$S_i\stackrel{\mathrm{i}.\mathrm{i}.\mathrm{d}}{\sim }\mathrm{Bernoulli}\left(\frac{\mathrm{\Gamma }}{1+\mathrm{\Gamma }}\right),$$ 所以 ${\displaystyle T}$ 有均值和方差 $${\mathbb{E}}_{\mathrm{\Gamma }}(T)=\frac{\mathrm{\Gamma }}{1+\mathrm{\Gamma }}\sum _{i=1}^n{q}_i,{\mathrm{Var}}_{\mathrm{\Gamma }}(T)=\frac{\mathrm{\Gamma }}{(1+\mathrm{\Gamma }{)}^2}\sum _{i=1}^n{q}_i^2,$$ 以及 $$\frac{T-\frac{\mathrm{\Gamma }}{1+\mathrm{\Gamma }}\sum _{i=1}^n{q}_i}{\sqrt{\frac{\mathrm{\Gamma }}{(1+\mathrm{\Gamma }{)}^2}\sum _{i=1}^n{q}_i^2}}\to \mathcal{N}(0,1).$$
实践中, 我们能得到一系列 p 值, 作为 ${\displaystyle \mathrm{\Gamma }}$ 的函数.